Cálculo Exemplos

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 1 - t^{2}$ e $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{3}{t^{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{3}{t^{2}}$ em relação a $t$ é $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 3.10

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $\frac{6}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 5.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

Etapa 7

Subtraia $2 t$ de $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3

Combine os termos.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{6}{t^{3}}$ por $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{6}{t^{3}}$ e $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t^{3}$ .

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Etapa 8.3.3.1

Fatore $t^{2}$ de $6 t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{3}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Etapa 8.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

Etapa 8.3.6

Combine $2$ e $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

Etapa 8.3.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{6}{t^{2}}$ e $t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

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Etapa 8.3.9.1

Fatore $t$ de $6 t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

Etapa 8.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.9.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Etapa 8.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Etapa 8.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

Etapa 8.3.10

Some $- \frac{6}{t}$ e $\frac{6}{t}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

Etapa 8.3.11

Some $\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ e $0$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$