Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ como ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x - 5$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 3.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

Etapa 3.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.7

Multiplique $- 2 x + 2$ por $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.1

Fatore $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Etapa 4.8.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.8.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.8.1.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.9

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.10

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.11

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.12

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Etapa 4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$