Cálculo Exemplos

$y = {\sin (5 x)}^{8 x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\sin (5 x)}^{8 x}$ como $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})$ movendo $8 x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (\sin (5 x))}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x \ln (\sin (5 x))$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x \ln (\sin (5 x))$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))])$

Etapa 3.2

Mova $8$ para a esquerda de $e^{8 x \ln (\sin (5 x))}$ .

$8 \cdot e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Converta de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ em $\csc (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \cdot 1)$

Etapa 8.5

Multiplique $\ln (\sin (5 x))$ por $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Etapa 9.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \csc (5 x) \cos (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \cos (5 x) \csc (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$