Cálculo Exemplos

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x - 5$ e $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 5.2

Some $6 x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

Etapa 7.2

Some $3$ e $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5

Combine os termos.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 8.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.3

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.8

Some $1$ e $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.10

Subtraia $6 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.11

Multiplique $3$ por $2$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 1 \cdot 3$

Etapa 8.5.13

Multiplique $3$ por $1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

Etapa 8.5.14

Some $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

Etapa 8.5.15

Subtraia $3 x^{2}$ de $- 36 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$