Cálculo Exemplos

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y + 2$ e $g (y) = 3 - y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3 - y$ por $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.7

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.9

Multiplique.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $y + 2$ por $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $y + 2$ por $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Some $- y$ e $y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.11.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.11.3.1

Some $3$ e $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.11.3.2

Some $3$ e $2$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

Etapa 3.11.3.3

Reordene os termos.

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $3$ e $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ por $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Reordene os termos.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique ${(- y + 3)}^{2}$ por ${(- y + 3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

Etapa 4.2.5.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$