Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Etapa 10.2

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Combine $2$ e $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3

Combine $\frac{π}{2}$ e $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.4

Reescreva $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ como um produto.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.5

Multiplique $\frac{π \cos (π)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.8

Multiplique $0$ por $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 10.3.9.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.10

Some $- \frac{π \cos (π)}{4}$ e $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.11

Para escrever $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.3.12

Combine $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Etapa 10.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Etapa 10.3.14

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Etapa 10.3.15

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.3.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Etapa 10.3.15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Etapa 10.3.16

Multiplique $\sin (π) - \sin (0)$ por $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Etapa 11.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Etapa 11.3

Some $- π \cos (π) + \sin (π)$ e $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Etapa 11.4

Fatore $- 1$ de $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Etapa 11.5

Fatore $- 1$ de $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Etapa 11.6

Fatore $- 1$ de $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Etapa 11.7

Reescreva $- (π \cos (π) - \sin (π))$ como $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Etapa 11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Etapa 12.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Etapa 12.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Etapa 12.5

Reescreva $- 1 π$ como $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Etapa 12.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Etapa 12.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Etapa 12.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Etapa 12.9

Some $- π$ e $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Etapa 12.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{π}{4}$

Etapa 12.11

Multiplique $- - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 12.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Etapa 12.11.2

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{4}$

Forma decimal:

$0.78539816 \dots$