Cálculo Exemplos

$y - x \sin (x y)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x \sin (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Etapa 1.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \sin (x y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x y)$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$0 - (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 - (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$0 - (x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y) \cdot 1)$

Etapa 2.8

Multiplique $\sin (x y)$ por $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - (x (\cos (x y) y)) - \sin (x y)$

Etapa 3.2

Subtraia $- (- x (\cos (x y) y) - \sin (x y))$ de $0$ .

$- x (\cos (x y) y) - \sin (x y)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$- x y \cos (x y) - \sin (x y)$