Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Etapa 1.2.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Etapa 1.2.2.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Etapa 1.2.2.3.4

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Etapa 1.2.2.3.5

Subtraia $81$ de $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Etapa 1.2.2.3.6

Multiplique $24$ por $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Etapa 1.2.2.3.7

Some $- 54$ e $72$ .

$18 - 18$

Etapa 1.2.2.3.8

Subtraia $18$ de $18$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Etapa 1.2.2.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ por $x - 3$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Etapa 1.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 1.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 1.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Etapa 1.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Etapa 1.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Etapa 1.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Etapa 1.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Etapa 1.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Etapa 1.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 18$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Etapa 1.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Etapa 1.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 6 x + 6$

Etapa 1.2.2.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.5

Defina $x^{2} - 6 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x^{2} - 6 x + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $24$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 18$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $18$ de $0$ .

$y = - 18$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 18)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 18)$

Etapa 4