Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Etapa 1.2.2.3

Substitua $4.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.3.1

Substitua $4.5$ no polinômio.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $4.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.3

Multiplique $4$ por $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.4

Eleve $4.5$ à potência de $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.5

Multiplique $- 24$ por $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.6

Subtraia $486$ de $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.7

Multiplique $35$ por $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Etapa 1.2.2.3.8

Some $- 121.5$ e $157.5$ .

$36 - 36$

Etapa 1.2.2.3.9

Subtraia $36$ de $36$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4

Como $4.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 9$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Etapa 1.2.2.5

Divida $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ por $2 x - 9$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Etapa 1.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 18 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Etapa 1.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} + 27 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 1.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Etapa 1.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Etapa 1.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Etapa 1.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Etapa 1.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x - 36$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Etapa 1.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Etapa 1.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Etapa 1.2.2.6

Escreva $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $2 x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $2 x - 9$ como igual a $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $2 x - 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$2 x = 9$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 9$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.5

Defina $2 x^{2} - 3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $2 x^{2} - 3 x + 4$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.4

Simplifique $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $35$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 36$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $36$ de $0$ .

$y = - 36$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 36)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(\frac{9}{2}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 36)$

Etapa 4