Cálculo Exemplos

$x^{3} - 48 x - 128$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 48 x - 128$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 48 x - 128 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{3} - 48 x - 128$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 128, \pm 2, \pm 64, \pm 4, \pm 32, \pm 8, \pm 16$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 4$ no polinômio.

${(- 4)}^{3} - 48 \cdot - 4 - 128$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$- 64 - 48 \cdot - 4 - 128$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $- 48$ por $- 4$ .

$- 64 + 192 - 128$

Etapa 2.1.1.3.4

Some $- 64$ e $192$ .

$128 - 128$

Etapa 2.1.1.3.5

Subtraia $128$ de $128$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 48 x - 128}{x + 4}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $x^{3} - 48 x - 128$ por $x + 4$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$48 x$

$128$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 32 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							-	$32 x$	-	$128$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 32 x - 128$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$32$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$48 x$	-	$128$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$48 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							-	$32 x$	-	$128$
							+	$32 x$	+	$128$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x - 32$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $x^{3} - 48 x - 128$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) (x^{2} - 4 x - 32) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 8, 4$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 4) ((x - 8) (x + 4)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x - 8) (x + 4) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.4

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x - 8) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 8$

Etapa 3