Cálculo Exemplos

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Etapa 1

A regra da cadeia determina que a derivada de $y$ com relação a $x$ é igual à derivada de $y$ com relação a $u$ vezes a derivada de $u$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d y}{d u}$ .

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + 1$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $1$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 u + 0$

Etapa 2.4

Some $2 u$ e $0$ .

$2 u$

Etapa 3

Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4

Multiplique $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Etapa 6

Substitua o valor de $u$ na derivada $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Etapa 7

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Etapa 7.2

Multiplique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Etapa 7.2.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$