Cálculo Exemplos

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ .

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

Etapa 2

Defina $y$ como igual a $0$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Fatore $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 3.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Etapa 3.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 2 - 7 - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.6

Subtraia $7$ de $- 2$ .

$- 9 - 1 + 10$

Etapa 3.1.1.3.7

Subtraia $1$ de $- 9$ .

$- 10 + 10$

Etapa 3.1.1.3.8

Some $- 10$ e $10$ .

$0$

Etapa 3.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

Etapa 3.1.1.5

Divida $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ por $x + 1$ .

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Etapa 3.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

Etapa 3.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

Etapa 3.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 3.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 3.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 3.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Etapa 3.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Etapa 3.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 3.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} - 9 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 3.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

Etapa 3.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Etapa 3.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Etapa 3.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Etapa 3.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x + 10$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Etapa 3.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Etapa 3.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 9 x + 10$

Etapa 3.1.1.6

Escreva $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 3.1.2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 4$ mais $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

Etapa 3.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

Etapa 3.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Etapa 3.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

Etapa 3.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Etapa 3.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.5

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Etapa 4