Cálculo Exemplos

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Etapa 1

A regra da cadeia determina que a derivada de $y$ com relação a $x$ é igual à derivada de $y$ com relação a $u$ vezes a derivada de $u$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d y}{d u}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.6

Combine $\frac{3}{2}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3

Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 4

Multiplique $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6

Substitua o valor de $u$ na derivada $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$