Cálculo Exemplos

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Etapa 1

A regra da cadeia determina que a derivada de $y$ com relação a $x$ é igual à derivada de $y$ com relação a $u$ vezes a derivada de $u$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d y}{d u}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ é $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , em que $f (u) = u + 1$ e $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u + 1$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $1$ em relação a $u$ é $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $u$ por $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $u$ de $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1 \cdot 1$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Etapa 3

Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

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Etapa 5.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Etapa 5.1.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Etapa 5.1.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Etapa 5.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Etapa 6

Substitua o valor de $u$ na derivada $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 7.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 7.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Etapa 7.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Etapa 7.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Etapa 7.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Etapa 7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Etapa 7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$