Cálculo Exemplos

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Etapa 1

A regra da cadeia determina que a derivada de $y$ com relação a $x$ é igual à derivada de $y$ com relação a $u$ vezes a derivada de $u$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d y}{d u}$ .

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u^{2} + u - 2$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Etapa 2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- 2$ em relação a $u$ é $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Etapa 2.5

Some $2 u + 1$ e $0$ .

$2 u + 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{d y}{d u}$ por $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Etapa 5.2

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Etapa 5.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{- 2}{x^{2}}$ e $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua o valor de $u$ na derivada $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.3

Combine.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.4.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$