Cálculo Exemplos

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Etapa 1

A regra da cadeia determina que a derivada de $w$ com relação a $t$ é igual à derivada de $w$ com relação a $u$ vezes a derivada de $u$ com relação a $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Etapa 3

Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t - 1$ e $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $t + 1$ por $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1

Combine os termos opostos em $t + 1 - t - - 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{d w}{d u}$ por $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

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Etapa 5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

Combine $3$ e $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ e $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua o valor de $u$ na derivada $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.1

Aplique a regra do produto a $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Combine $6$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Etapa 7.4

Combine.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Etapa 7.5

Multiplique ${(t + 1)}^{2}$ por ${(t + 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Etapa 7.5.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Etapa 7.6

Multiplique $6 {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$