Cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ é $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , em que $f (z) = 2 x$ e $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2 x$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $2 x$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z^{2} - y^{2}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $2 z$ e $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $z^{2}$ por $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- y^{2} \cdot 0$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 - 4 x z$ .

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Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $4 x z$ de $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a regra do produto a $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$