Cálculo Exemplos

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ é $n A^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $2000$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ em relação a $A$ é $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ é $f' (g (A)) g' (A)$ , em que $f (A) = A^{60}$ e $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $60$ por $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{r}{12}$ com relação a $A$ é $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $1$ em relação a $A$ é $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Etapa 3.3.5

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $A$ , a derivada de $\frac{r}{12}$ em relação a $A$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Etapa 3.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.2

Combine $\frac{120000}{12}$ e ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.3

Cancele o fator comum de $120000$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.3.1

Fatore $12$ de $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.3.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.3.6.3.2.4

Divida $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ por $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d A} [r]$ como $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Etapa 5

Resolva $r'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ por $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ por $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $10000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Etapa 5.2.3.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine $10000$ e $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ por $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Etapa 6

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$