Cálculo Exemplos

$q = \frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2})$

Etapa 2

A derivada de $q$ em relação a $t$ é $q'$ .

$q'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t + 2$ .

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.5

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $t + 2$ por $1$ .

$\frac{t + 2 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.7

Some $1$ e $0$ .

$\frac{t + 2 - t \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{t + 2 - t}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.9

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{0 + 2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.2.10

Some $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 (2 t)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 6 t$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$q' = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $q'$ por $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$