Cálculo Exemplos

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15 r - r^{7}}$ como ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ e $g (q) = 15 r - r^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $15 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $15 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 r - r^{7}$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Etapa 4.8

Como $15$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $15 r$ em relação a $q$ é $15 \frac{d}{d q} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Etapa 4.9

Reescreva $\frac{d}{d q} [r]$ como $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Etapa 4.10

Como $- 1$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $- r^{7}$ em relação a $q$ é $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ é $f' (g (q)) g' (q)$ , em que $f (q) = q^{7}$ e $g (q) = r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

Etapa 4.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Etapa 4.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Etapa 4.12

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d q} [r]$ como $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

Etapa 4.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Etapa 4.14.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.2.1

Combine $15$ e $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Etapa 4.14.2.2

Combine $\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ e $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Etapa 4.14.2.3

Combine $- 7$ e $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

Etapa 4.14.2.4

Combine $r^{6}$ e $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

Etapa 4.14.2.5

Combine $\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ e $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.2.6

Mova $- 7$ para a esquerda de $r^{6}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3

Reordene os termos.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $r'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 6.2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.2.3

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 6.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.2.5

O MMC de $2, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 6.2.6

O fator de $15 r - r^{7}$ é o próprio $15 r - r^{7}$ .

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ ocorre $1$ vez.

Etapa 6.2.7

O MMC de ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.8

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo em $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 6.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.4

Cancele o fator comum de ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Multiplique $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $r'$ de $- 7 r^{6} r' + 15 r'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Fatore $r'$ de $- 7 r^{6} r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.1.2

Fatore $r'$ de $15 r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.1.3

Fatore $r'$ de $r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ .

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.2

Divida cada termo em $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 7 r^{6} + 15$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Divida cada termo em $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ por $- 7 r^{6} + 15$ .

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7 r^{6} + 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Divida $r'$ por $1$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- 7 r^{6}$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

Etapa 6.4.2.3.2

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

Etapa 6.4.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

Etapa 6.4.2.3.4

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.4.1

Reescreva $- (7 r^{6} - 15)$ como $- 1 (7 r^{6} - 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

Etapa 6.4.2.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

Etapa 7

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d q}$ .

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$