Cálculo Exemplos

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Etapa 2

A derivada de $R$ em relação a $t$ é $R'$ .

$R'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 \tan^{2} (3 π t)$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \tan (3 π t)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 3 π t$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $3 π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 π t$ em relação a $t$ é $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Etapa 3.5.4.2

Reordene os fatores de $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ .

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Etapa 5

Substitua $R'$ por $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$