Cálculo Exemplos

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

Etapa 2

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 \cot (t + e^{- t})$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = t + e^{- t}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t + e^{- t}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t + e^{- t}$ .

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + e^{- t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

Etapa 3.5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

Etapa 3.5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Etapa 5

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$