Cálculo Exemplos

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Etapa 3

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t^{2}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Etapa 4.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Etapa 4.4.3

Reordene os termos.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$