Cálculo Exemplos

$s = t^{7} \tan (t - \sqrt{t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{7}$ e $g (t) = \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [\tan (t - t^{\frac{1}{2}})] + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = t - t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t - t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$t^{7} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.8.3

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) (7 t^{6})$

Etapa 4.10

Reordene os termos.

$t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$