Cálculo Exemplos

$s = t^{12} \ln (| t |)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{12} \ln (| t |))$

Etapa 2

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{12}$ e $g (t) = \ln (| t |)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = | t |$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $| t |$ .

$t^{12} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$t^{12} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $| t |$ .

$t^{12} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{| t |}$ e $t^{12}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.4

A derivada de $| t |$ em relação a $t$ é $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{t^{12}}{| t |}$ por $\frac{t}{| t |}$ .

$\frac{t^{12} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.6

Multiplique $t^{12}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $t^{12}$ por $t$ .

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{12} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{12 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.6.2

Some $12$ e $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{t^{13}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.8

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.9

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{13}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (12 t^{11})$

Etapa 3.13

Simplifique.

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Etapa 3.13.1

Reordene os termos.

$\frac{t^{13}}{| t^{2} |} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.2.1

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$\frac{t^{13}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2.2

Cancele o fator comum de $t^{13}$ e $t^{2}$ .

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Etapa 3.13.2.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{13}$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2}} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.13.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} t^{11}}{t^{2} \cdot 1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{11}}{1} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 3.13.2.2.2.4

Divida $t^{11}$ por $1$ .

$t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$

Etapa 5

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{11} + 12 t^{11} \ln (| t |)$