Cálculo Exemplos

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Etapa 2

A derivada de $w$ em relação a $p$ é $w'$ .

$w'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ é $f' (g (p)) g' (p)$ , em que $f (p) = \log_{8} (p)$ e $g (p) = 2^{p} - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\log_{8} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2^{p} - 1$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ é $a^{p} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $- 1$ em relação a $p$ é $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Etapa 3.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.4.2.1

Some $2^{p} \ln (2)$ e $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Etapa 3.4.2.2

Combine $2^{p}$ e $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Etapa 3.4.2.3

Combine $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $- 1 \ln (8)$ como $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Etapa 5

Substitua $w'$ por $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$