Cálculo Exemplos

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

Etapa 2

A derivada de $w$ em relação a $t$ é $w'$ .

$w'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{90}$ e $g (t) = t^{7} + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{7} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 90$ .

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{7} + 1$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{7} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.2.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $7 t^{6}$ e $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $7$ por $90$ .

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

Etapa 3.2.4.3

Reordene os fatores de $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ .

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Etapa 5

Substitua $w'$ por $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$