Cálculo Exemplos

$v = \frac{1 + x - 4 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v' = \frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Etapa 3

A derivada de $v'$ em relação a $x$ é $v''$ .

$v''$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.9

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.11

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.12.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16

Simplifique.

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Etapa 4.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.16.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.16.3.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.3

Combine $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.16.3.1.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 4.16.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.2

Combine os termos opostos em $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.16.3.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.2.2

Some $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Etapa 4.16.3.3

Some $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ e $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$v'' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $v'$ por $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$