Cálculo Exemplos

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $v'$ em relação a $x$ é $v''$ .

$v''$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.3.3

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $x + 1$ de $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10

Simplifique os termos.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.10.4

Combine $2$ e $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.3

Fatore $2$ de $- 2 x + 2$ .

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Etapa 3.11.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.3.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.7

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 5

Substitua $v'$ por $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$