Cálculo Exemplos

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 5}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 u' - 5}$ como ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $u$ em relação a $u'$ é $u'$ .

$u'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ é $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ , em que $f (u') = {u'}^{2}$ e $g (u') = {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ é $f' (g (u')) g' (u')$ , em que $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ e $g (u') = 8 u' - 5$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 u' - 5$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(8 u' - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 5] + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 u' - 5$ com relação a $u'$ é $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.9

Como $8$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $8 u'$ em relação a $u'$ é $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ é $n {u'}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.11

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.12

Como $- 5$ é constante em relação a $u'$ , a derivada de $- 5$ em relação a $u'$ é $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

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Etapa 4.13.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.2

Combine $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.3

Mova $8$ para a esquerda de ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.13.4

Fatore $2$ de $8 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ é $n {u'}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Etapa 4.16

Mova $2$ para a esquerda de ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$

Etapa 4.17

Combine $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} u'$ usando um denominador comum.

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Etapa 4.17.1

Mova ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.17.2

Para escrever $2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18

Multiplique ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.18.1

Mova ${(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 5)}^{1}}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19

Simplifique $2 u' {(8 u' - 5)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 5)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Simplifique.

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Etapa 4.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.20.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.20.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.2

Multiplique $u'$ por $u'$ somando os expoentes.

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Etapa 4.20.2.1.2.1

Mova $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.2.2

Multiplique $u'$ por $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 5}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.2.2

Some $4 {u'}^{2}$ e $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3

Fatore $10 u'$ de $20 {u'}^{2} - 10 u'$ .

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Etapa 4.20.3.1

Fatore $10 u'$ de $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{10 u' (2 u') - 10 u'}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.2

Fatore $10 u'$ de $- 10 u'$ .

$\frac{10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20.3.3

Fatore $10 u'$ de $10 u' (2 u') + 10 u' \cdot - 1$ .

$\frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$u' = \frac{10 u' (2 u' - 1)}{{(8 u' - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

Nenhuma solução

Etapa 7

Substitua $u'$ por $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$