Cálculo Exemplos

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ em relação a $s$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = s^{3}$ e $g (s) = t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.5

Combine $t^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ e $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.7

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.2.8.2

Divida $t^{2} t'$ por $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- 5 t^{2}$ em relação a $s$ é $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = s^{2}$ e $g (s) = t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $16$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $16 t$ em relação a $s$ é $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Como $8$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $8$ em relação a $s$ é $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Etapa 3.5.2

Some $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ e $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Etapa 5

Resolva $t'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $t'$ de $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $t'$ de $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $t'$ de $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $t'$ de $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $t'$ de $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Etapa 5.2.5

Fatore $t'$ de $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Etapa 5.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $t^{2} - 10 t + 16$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 5.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ por $(t - 8) (t - 2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ por $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $t - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $t - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Etapa 6

Substitua $t'$ por $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$