Cálculo Exemplos

$s = t^{3} - 12 t$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (t^{3} - 12 t)$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} - 12 t$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

$\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = s^{3}$ e $g (s) = t$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t$ .

$3 t^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$3 t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- 12 t$ em relação a $s$ é $- 12 \frac{d}{d s} [t]$ .

$3 t^{2} t' - 12 \frac{d}{d s} [t]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d s} [t]$ como $t'$ .

$3 t^{2} t' - 12 t'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 3 t^{2} t' - 12 t'$

Etapa 5

Resolva $t'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $3 t^{2} t' - 12 t' = 1$ .

$3 t^{2} t' - 12 t' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $3 t'$ de $3 t^{2} t' - 12 t'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 t'$ de $3 t^{2} t'$ .

$3 t' t^{2} - 12 t' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 t'$ de $- 12 t'$ .

$3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4 = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 t'$ de $3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4$ .

$3 t' (t^{2} - 4) = 1$

Etapa 5.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 t' (t^{2} - 2^{2}) = 1$

Etapa 5.4

Fatore.

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Etapa 5.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 2$ .

$3 t' ((t + 2) (t - 2)) = 1$

Etapa 5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ por $3 (t + 2) (t - 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ por $3 (t + 2) (t - 2)$ .

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $t + 2$ .

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $t - 2$ .

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Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $t'$ por $1$ .

$t' = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Etapa 6

Substitua $t'$ por $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$