Cálculo Exemplos

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 3.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 3.3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 3.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6

Resolva $x'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Reordene os fatores em $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $- \sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Etapa 6.3.3.2

Separe as frações.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 6.3.3.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Etapa 6.3.3.4

Divida $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Etapa 6.3.3.5

Combine $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$