Cálculo Exemplos

$\sin (x) = e^{y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (x) x'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{y}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (x) x' = e^{y}$

Etapa 5

Divida cada termo em $\cos (x) x' = e^{y}$ por $\cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $\cos (x) x' = e^{y}$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Separe as frações.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

Etapa 5.3.3

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$x' = e^{y} \sec (x)$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$