Cálculo Exemplos

$C = 0.001 x^{3} + 5 x + 250$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d C} (C) = \frac{d}{d C} (0.001 x^{3} + 5 x + 250)$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ é $n C^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.001 x^{3} + 5 x + 250$ com relação a $C$ é $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$ .

$\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $0.001$ é constante em relação a $C$ , a derivada de $0.001 x^{3}$ em relação a $C$ é $0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}]$ .

$0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d C} [f (g (C))]$ é $f' (g (C)) g' (C)$ , em que $f (C) = C^{3}$ e $g (C) = x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$0.001 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0.001 (3 u^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$0.001 (3 x^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d C} [x]$ como $x'$ .

$0.001 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $0.001$ .

$0.003 x^{2} x' + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d C} [5 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $C$ , a derivada de $5 x$ em relação a $C$ é $5 \frac{d}{d C} [x]$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 \frac{d}{d C} [x] + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d C} [x]$ como $x'$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + \frac{d}{d C} [250]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $250$ é constante em relação a $C$ , a derivada de $250$ em relação a $C$ é $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + 0$

Etapa 3.4.2

Some $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ e $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $0.001 x'$ de $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ .

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Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$0.003 x' x^{2} + 5 x' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $0.001 x'$ de $0.003 x' x^{2}$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 5 x' = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $0.001 x'$ de $5 x'$ .

$0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000 = 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $0.001 x'$ de $0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000$ .

$0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ por $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ por $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ .

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $0.001$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 5000$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1$ como $1 (1)$ .

$x' = \frac{1 (1)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Etapa 5.3.3.2

Separe as frações.

$x' = \frac{1}{0.001} \cdot \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Etapa 5.3.3.3

Divida $1$ por $0.001$ .

$x' = 1000 \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Etapa 5.3.3.4

Combine $1000$ e $\frac{1}{3 x^{2} + 5000}$ .

$x' = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d C}$ .

$\frac{d x}{d C} = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$