Cálculo Exemplos

$x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9) = \frac{d}{d t} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [x]$ como $x'$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Etapa 2.4.2

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$ e $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0$ em relação a $t$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 t^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 3 t^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $4 t^{3} x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Etapa 5.2

Fatore $x'$ de $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x'$ de $4 x^{3} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Etapa 5.2.2

Fatore $x'$ de $t^{4} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Etapa 5.2.3

Fatore $x'$ de $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ .

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ por $4 x^{3} + t^{4}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ por $4 x^{3} + t^{4}$ .

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4 x^{3} + t^{4}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $t^{2}$ de $- 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $t^{2}$ de $- 4 t^{3} x$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 3 - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- 4 t x$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - (4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3 + 4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 5.3.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$