Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Etapa 3.8.3

Reordene os termos.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $6 x y y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $3 y y'$ de $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 y y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 y y'$ de $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 y y'$ de $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y (y - 2 x)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ por $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $y - 2 x$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Fatore $3$ de $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $\frac{y}{y - 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - 2 x) y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{y - 2 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.5.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.5.4

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Etapa 5.4.3.5.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$