Cálculo Exemplos

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $p$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $500$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ em relação a $p$ é $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Etapa 3.1.2

Reescreva $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ como $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ é $f' (g (p)) g' (p)$ , em que $f (p) = p^{- 1}$ e $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ é $f' (g (p)) g' (p)$ , em que $f (p) = \ln (p)$ e $g (p) = p^{2} + 1$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Combine $\frac{1}{p^{2} + 1}$ e $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Etapa 3.5.2

Combine frações.

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Etapa 3.5.2.1

Combine $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ e $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.2.2.1

Mova $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Etapa 3.5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Etapa 3.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $p^{2} + 1$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Etapa 3.5.5

Como $1$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $1$ em relação a $p$ é $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Etapa 3.5.6

Combine frações.

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Etapa 3.5.6.1

Some $2 p$ e $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Etapa 3.5.6.3

Combine $- 2$ e $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Etapa 3.5.6.4

Multiplique $- 2$ por $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Etapa 3.5.6.5

Combine $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ e $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Etapa 3.5.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.6.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Etapa 3.5.6.6.2

Reordene os fatores em $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$