Cálculo Exemplos

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Etapa 2

A derivada de $V$ em relação a $r$ é $V'$ .

$V'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $p$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $p r^{2} (2 p r - 24)$ em relação a $r$ é $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ é $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ , em que $f (r) = r^{2}$ e $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 p r - 24$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.2

Como $2 p$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $2 p r$ em relação a $r$ é $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.5

Como $- 24$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 24$ em relação a $r$ é $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Some $2 p$ e $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Etapa 3.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Eleve $p$ à potência de $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $p$ à potência de $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.4

Some $1$ e $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.5

Mova $2$ para a esquerda de $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.7

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.8

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.10

Some $1$ e $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.11

Eleve $p$ à potência de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.12

Eleve $p$ à potência de $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.14

Some $1$ e $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Etapa 3.4.4.15

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Etapa 3.4.4.16

Some $2 p^{2} r^{2}$ e $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Etapa 3.4.5

Reordene os termos.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Etapa 5

Substitua $V'$ por $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$