Cálculo Exemplos

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(6 x y + 5)}^{2}$ como $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ .

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

Etapa 2.2

Expanda $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

Etapa 2.3.2

Some $30 x y$ e $30 x y$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.4.2

Como $36$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $36 x^{2} y^{2}$ em relação a $y$ é $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{2}$ .

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.6.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.8

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.9

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.10

Como $60$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $60 x y$ em relação a $y$ é $60 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.12.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.12.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.13

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

Etapa 2.14

Como $25$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $25$ em relação a $y$ é $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

Etapa 2.15

Some $36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ e $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Etapa 2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Etapa 2.16.3

Combine os termos.

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Etapa 2.16.3.1

Multiplique $2$ por $36$ .

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Etapa 2.16.3.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

Etapa 2.16.4

Reordene os termos.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $12$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $12 y$ em relação a $y$ é $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$12 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $72 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

Etapa 5.1.2

Subtraia $60 x$ dos dois lados da equação.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Etapa 5.2

Fatore $12 y x'$ de $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $12 y x'$ de $72 y^{2} x x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $12 y x'$ de $60 y x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $12 y x'$ de $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ .

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ por $12 y (6 y x + 5)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ por $12 y (6 y x + 5)$ .

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $6 y x + 5$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 72$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $12$ de $- 72 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $12$ de $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $- 60$ e $12$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Fatore $12$ de $- 60 x$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.5.2.1

Fatore $12$ de $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (6 y x + 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ por $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(6 y x + 5) y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$