Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 64$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 64$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 64$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) (2 \cdot ((x^{2} + 64) x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 64)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 64)}^{2}$ como $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 64) (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 64) + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Mova $64$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 \cdot x^{2} + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $64$ por $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 x^{2} + 64 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4.2

Some $64 x^{2}$ e $64 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 128 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (128 x^{2}) - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $128$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $4096$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 8192) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{1 + 2} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2 + 1} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} (x^{3} + 64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{2} x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{1 + 2}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{3}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $64$ por $- 256$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.2

Subtraia $256 x^{3}$ de $256 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 0 - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Subtraia $16384 x$ de $- 8192 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 256 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 24576 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 128 u - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 128 u - 12288$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12288$ e cuja soma é $- 128$ .

$- 192, 64$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 192) (u + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 64$ e ${(x^{2} + 64)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 64$ de $2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 64$ de ${(x^{2} + 64)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 192) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 192 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2} - 192$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2} - 192$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 192 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 192 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Some $192$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 192$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{192}$

Etapa 1.2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{192}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1

Reescreva $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1.1

Fatore $64$ de $192$ .

$x = \pm \sqrt{64 (3)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.1.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 8 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 192) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} + 64}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 64 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 64$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Etapa 2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Etapa 2.2.3.4

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Etapa 2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 8$

Etapa 2.2.3.6

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 8 i$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8 i$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8 i$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8 i, - 8 i$

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 8 \sqrt{3}) \cup (- 8 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 8 \sqrt{3}) \cup (8 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 16$ na expressão.

$f'' (- 16) = \frac{2 (- 16) ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $256$ e $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{320^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $320$ à potência de $3$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{32768000}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 (256 - 192)}{32768000}$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $192$ de $256$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 \cdot 64}{32768000}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 32$ por $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 2048}{32768000}$

Etapa 4.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 2048$ e $32768000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Fatore $2048$ de $- 2048$ .

$f'' (- 16) = \frac{2048 (- 1)}{32768000}$

Etapa 4.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.2.1

Fatore $2048$ de $32768000$ .

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Etapa 4.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Etapa 4.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 16) = \frac{- 1}{16000}$

Etapa 4.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 16) = - \frac{1}{16000}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $- \frac{1}{16000}$ .

$- \frac{1}{16000}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ porque $f'' (- 16)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4$ e $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{68^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $68$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{314432}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 192)}{314432}$

Etapa 5.2.3.2

Subtraia $192$ de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 188}{314432}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 188$ .

$f'' (- 2) = \frac{752}{314432}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $752$ e $314432$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Fatore $16$ de $752$ .

$f'' (- 2) = \frac{16 (47)}{314432}$

Etapa 5.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.2.1

Fatore $16$ de $314432$ .

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Etapa 5.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Etapa 5.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{47}{19652}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $\frac{47}{19652}$ .

$\frac{47}{19652}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 8 \sqrt{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 192)}{{({(2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(2^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $4$ e $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{68^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $68$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{314432}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 192)}{314432}$

Etapa 6.2.3.2

Subtraia $192$ de $4$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 188}{314432}$

Etapa 6.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $4$ por $- 188$ .

$f'' (2) = \frac{- 752}{314432}$

Etapa 6.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 752$ e $314432$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Fatore $16$ de $- 752$ .

$f'' (2) = \frac{16 (- 47)}{314432}$

Etapa 6.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.2.1

Fatore $16$ de $314432$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Etapa 6.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Etapa 6.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{- 47}{19652}$

Etapa 6.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{47}{19652}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $- \frac{47}{19652}$ .

$- \frac{47}{19652}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 8 \sqrt{3})$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 8 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(8 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $16$ na expressão.

$f'' (16) = \frac{2 (16) ({(16)}^{2} - 192)}{{({(16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(16^{2} + 64)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $256$ e $64$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{320^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $320$ à potência de $3$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{32768000}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (256 - 192)}{32768000}$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $192$ de $256$ .

$f'' (16) = \frac{32 \cdot 64}{32768000}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $32$ por $64$ .

$f'' (16) = \frac{2048}{32768000}$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum de $2048$ e $32768000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Fatore $2048$ de $2048$ .

$f'' (16) = \frac{2048 (1)}{32768000}$

Etapa 7.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1

Fatore $2048$ de $32768000$ .

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Etapa 7.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Etapa 7.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (16) = \frac{1}{16000}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{1}{16000}$ .

$\frac{1}{16000}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(8 \sqrt{3}, \infty)$ porque $f'' (16)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(8 \sqrt{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 8 \sqrt{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(8 \sqrt{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9