Cálculo Exemplos

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + y x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1.1

Some $2 y x x'$ e $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Etapa 2.4.1.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 x y x' = - 2 x^{2}$ por $4 x y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 x y x' = - 2 x^{2}$ por $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$