Cálculo Exemplos

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 (x + y x')$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (y x')$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$2 y x' + 2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 y x'$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Etapa 5.2

Some $3 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $3 x^{2} x' - 2 y x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $- 2 y x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ .

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ por $3 x^{2} - 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ por $3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 x^{2} - 2 y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$