Cálculo Exemplos

$x^{2} - y^{2} = 9$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x x' - (2 y)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x x' - 2 y$

Etapa 3

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x x' - 2 y = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$2 x x' = 2 y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x x' = 2 y$ por $2 x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x x' = 2 y$ por $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$