Cálculo Exemplos

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x - y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - y$ .

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x + y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.6

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.7

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.8.1.4.1

Mova $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.8.2.1

Mova $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.8.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.9

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.10

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.11

Reescreva ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.12

Expanda $(x - y) (x - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.13.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.13.1.4.1

Mova $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.1.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.13.2.1

Mova $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.13.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.14

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.15

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.16

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Etapa 2.4.5.17

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

Etapa 2.4.5.18

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

Etapa 2.4.5.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

Etapa 2.4.5.18.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

Etapa 2.4.5.19

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.19.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

Etapa 2.4.5.19.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

Etapa 2.4.5.19.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.19.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

Etapa 2.4.5.19.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

Etapa 2.4.5.20

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

Etapa 2.4.5.21

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

Etapa 2.4.5.22

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Subtraia $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6.2

Some $6 x y + 3 y^{2}$ e $0$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6.3

Subtraia $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6.4

Some $6 x y + 6 x y$ e $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6.5

Some $- 6 x y x'$ e $6 x y x'$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.6.6

Some $6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ e $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.7

Some $6 x y$ e $6 x y$ .

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.8

Some $3 x^{2} x'$ e $3 x^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Etapa 2.4.9

Some $3 y^{2} x'$ e $3 y^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + y^{5}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{5}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $5 x^{4} x'$ dos dois lados da equação.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

Etapa 5.2

Subtraia $12 x y$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $6 x^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $6 y^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.3.4

Fatore $x'$ de $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.3.5

Fatore $x'$ de $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ por $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ por $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $y$ de $5 y^{4} - 12 x y$ .

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Etapa 5.4.3.2.1

Fatore $y$ de $5 y^{4}$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.3.2.2

Fatore $y$ de $- 12 x y$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 5.4.3.2.3

Fatore $y$ de $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$