Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Etapa 1.2.2.3

Substitua $5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.3.1

Substitua $5$ no polinômio.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.3

Multiplique $2$ por $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.5

Multiplique $- 3$ por $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.6

Subtraia $75$ de $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.7

Multiplique $- 36$ por $5$ .

$175 - 180 + 5$

Etapa 1.2.2.3.8

Subtraia $180$ de $175$ .

$- 5 + 5$

Etapa 1.2.2.3.9

Some $- 5$ e $5$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

Etapa 1.2.2.5

Divida $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ por $x - 5$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

Etapa 1.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Etapa 1.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Etapa 1.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} - 35 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

Etapa 1.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

Etapa 1.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Etapa 1.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Etapa 1.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

Etapa 1.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 5$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

Etapa 1.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

Etapa 1.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

Etapa 1.2.2.6

Escreva $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ como um conjunto de fatores.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.5

Defina $2 x^{2} + 7 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $2 x^{2} + 7 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 7$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Some $49$ e $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Some $49$ e $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

Etapa 1.2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Some $49$ e $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

Etapa 1.2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.4

Simplifique $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 5$

Etapa 2.2.4.2.3

Some $0$ e $5$ .

$y = 5$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 5)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 5)$

Etapa 4