Cálculo Exemplos

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 24}$ como ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Mova $20$ para a esquerda de $C$ .

$\frac{d}{d x} [20 C]$

Etapa 3.2

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 C$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [C]$ .

$20 \frac{d}{d x} [C]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [C]$ como $C'$ .

$20 C'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 24$ .

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Etapa 4.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 24$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Etapa 4.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Etapa 4.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 24$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

Etapa 4.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

Etapa 4.2.5

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 4.2.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

Etapa 4.2.12

Some $2$ e $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

Etapa 4.2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Etapa 4.2.14

Combine $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 4.2.15

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.2.16

Mova ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.17

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.18

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Divida cada termo em $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ por $20$ .

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $C'$ por $1$ .

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

Etapa 6.3.2

Combine.

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Etapa 6.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Etapa 6.3.3.2

Mova $20$ para a esquerda de ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $C'$ por $\frac{d C}{d x}$ .

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$