Cálculo Exemplos

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Etapa 1

Multiplique $h$ por $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = h x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = h$ e $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Etapa 3.3.2

Multiplique $h$ por $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [h]$ como $h'$ .

$\cos (h x) (h + x h')$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Etapa 4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 4.5

Diferencie.

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Etapa 4.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.5.2

Multiplique.

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Etapa 4.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 4.5.4

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 4.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 4.6.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 6

Resolva $h'$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Reordene os fatores em $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ .

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 6.2

Subtraia $h \cos (h x)$ dos dois lados da equação.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ por $x \cos (h x)$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ por $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (h x)$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $h'$ por $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.3.1.1

Separe as frações.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\cos (h x)}$ em $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.4

Combine.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.6

Combine $\frac{e^{x}}{2 x}$ e $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.7

Separe as frações.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.8

Converta de $\frac{1}{\cos (h x)}$ em $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.10

Combine.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.11

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.12

Combine $\frac{e^{- x}}{2 x}$ e $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.13

Cancele o fator comum de $\cos (h x)$ .

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Etapa 6.3.3.1.13.1

Cancele o fator comum.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Etapa 6.3.3.1.13.2

Reescreva a expressão.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Etapa 6.3.3.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Etapa 7

Substitua $h'$ por $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$