Cálculo Exemplos

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Etapa 2

A derivada de $f$ em relação a $x$ é $f'$ .

$f'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Etapa 3.3.3

Como $\frac{2}{7 y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{7 y}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{2}{7 y}$ por $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Etapa 3.3.6

Combine $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ e $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Etapa 3.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Etapa 3.3.8

Combine $4$ e $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $2$ por $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Etapa 3.3.10

Combine $y$ e $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Etapa 3.3.11

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.11.1

Cancele o fator comum.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Etapa 3.3.11.2

Reescreva a expressão.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Etapa 5

Substitua $f'$ por $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$