Cálculo Exemplos

$p = \frac{1000 - 10 x}{40 - x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (p) = \frac{d}{d x} (\frac{1000 - 10 x}{40 - x})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $x$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1000 - 10 x$ e $g (x) = 40 - x$ .

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [1000 - 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1000 - 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{(40 - x) (\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1000$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(40 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [- 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(40 - x) (- 10 \frac{d}{d x} [x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(40 - x) (- 10 \cdot 1) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$\frac{(40 - x) \cdot - 10 - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.6.2

Mova $- 10$ para a esquerda de $40 - x$ .

$\frac{- 10 \cdot (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $40 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Multiplique.

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Etapa 3.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + 1 (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.11.2

Multiplique $1000 - 10 x$ por $1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \cdot 1}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.13

Multiplique $1000 - 10 x$ por $1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 10 \cdot 40 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $- 10$ por $40$ .

$\frac{- 400 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{- 400 + 10 x + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os termos opostos em $- 400 + 10 x + 1000 - 10 x$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $10 x$ de $10 x$ .

$\frac{- 400 + 0 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $- 400$ e $0$ .

$\frac{- 400 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Some $- 400$ e $1000$ .

$\frac{600}{{(40 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$\frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$